题目

Problem Description
Given a sequence 1,2,3,......N, your job is to calculate all the possible sub-sequences that the sum of the sub-sequence is M.

Input
Input contains multiple test cases. each case contains two integers N, M( 1 <= N, M <= 1000000000).input ends with N = M = 0.

Output
For each test case, print all the possible sub-sequence that its sum is M.The format is show in the sample below.print a blank line after each test case.

Sample Input
20 10
50 30
0 0

Sample Output
[1,4]
[10,10]
[4,8]
[6,9]
[9,11]
[30,30]

暴力解法

这是最容易想到的一种解法，但超时了

#include <cstdio>
int main() {
    int N, M, sum;
    while (scanf("%d%d", &N, &M), (N != 0 && M != 0)) {
        for (int i = 1;i <= N;i++) {
            sum = 0;
            for (int j = i;j <= N;j++) {
                sum += j;
                if (sum == M) {
                    printf("[%d, %d]\n", i, j);
                }
            }
        }
        printf("\n");
    }
}

数学知识

如果想要进行一些优化，那就要补充一些数学知识了

考虑这样的一个连续的整数序列

• 以 n 为中间数，向左右分别取 m 个数

对这个序列求和

sum = (n-m) + (n-m+1) + ... + (n-1) + n + (n+1) + ... + (n+m-1) + (n+m) = (2m+1) × n

也就是说，如果一个数 X 能被 2m+1 整除，且 n = X / (2m+1)

那么这个数 X 就等于从 n-m 到 n+m 的连续整数序列的和

即 X = (n-m) + (n-m+1) + ... + (n-1) + n + (n+1) + ... + (n+m-1) + (n+m)

换句话说，如果一个数 X 能被一个奇数 i 整除，此时 n = x / i, m = (i-1)/2,

那么这个数 X 就等于从 x/i - (i-1)/2 到 x/i + (i-1)/2 的连续整数序列的和

• 以 n 和 n+1 为中间数，向两边分别取 m 个数

对这个序列求和

sum = (n-m) + (n-m+1) + ... + n + (n+1) + ... + (n+m+1) = (m+1)(2n+1)

也就是说，如果一个数 X 能被 2n+1 整除，且 n = X / (2m+2)

这里 x / (2m+2) 得到的结果实际上是 n 和 n+1 的平均数，由于舍弃了小数，所以正好等于 n
故可以用 (X - X / (2m+2) * (2m+2)) == 2m+2 作为判断条件

那么这个数 X 就等于从 n-m 到 n+m+1 的连续整数序列的和

即 X = (n-m) + (n-m+1) + ... + n + (n+1) + ... + (n+m+1)

代码优化

有了上面的数学知识，我们就可以这样来写

对于 1，2，3，4，···，n 这样的连续整数序列，

我们首先要确定子序列可能的最大长度，

然后，根据长度，依次判断是否存在该长度对应的子序列

#include<stdio.h>
int main() {
    int n, m, i;
    while (scanf("%d%d", &m, &n), m + n) {
        // n                    子序列之和
        // i                    子序列长度
        // n / i                子序列的中间那个数
        // n / i - (i - 1) / 2  子序列的最左边的那个数
        // 在保证子序列最左边的数大于零的条件下确定 i 的最大值
        for (i = 1; n / i - (i - 1) / 2 > 0; i++);
        // i 不为 0 && 子序列最右边的数不超过原数列边界
        for (i--; i && n / i + i / 2 <= m; i--) {
            // 当 n 不能整除 i && 2倍的余数等于长度
            if ((n - n / i * i) * 2 == i)
                printf("[%d,%d]\n", n / i - (i - 1) / 2, n / i + i / 2);
            // 当 n 能整除 i && i 为奇数
            if (!(n % i) && i % 2)
                printf("[%d,%d]\n", n / i - (i - 1) / 2, n / i + i / 2);
        }
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}