最大公约数

最大公约数（GCD）是两个或多个整数的所有公约数中最大的一个

一般用 gcd(a,b) 来表示 a 和 b 的最大公约数

常用辗转相除法（也称为欧几里得算法）来计算两个数的最大公约数

欧几里得算法

对于整数 a和 b，它们的最大公约数与 b 和(a 除以 b 的余数)c 的最大公约数相等。即 gcd(a, b) = gcd(b, a % b).通过不断迭代，直到余数为 0，此时的除数即为最大公约数。

辗转相除法的原理基于以下定理

设a、b均为正整数，则$$gcd(a,b)=gcd(b,a \% b)$$

证明：

假设d是a和b的一个公约数，那么d可以整除a和b。
由于r是a除以b的余数，因此a可以表示为a = bq + r，其中q是商，r是余数。
由于d可以整除a和b，那么d也可以整除bq，因此d也可以整除r（因为r = a - bq）。所以，d也是b和r的一个公约数。

反过来，假设e是b和r的一个公约数，那么e可以整除b和r。
由于a = bq + r，e也可以整除a（因为e可以整除bq和r，所以e也可以整除它们的和a）。所以，e也是a和b的一个公约数。

因此，a和b的公约数集合与b和r的公约数集合是相同的。所以，它们的最大公约数也是相同的，即gcd(a, b) = gcd(b, r)。

通过上面的定理可以发现，

现在还需要一个递归边界，数据规模减小到什么程度才能算出结果呢？
因为，0和任意一个整数a的最大公约数都是a，所以，当其中一个数为0时，到达边界，另一个数就是最大公约数。

递归的两个关键
① 递归式：$gcd(a,b)=gcd(b,a \% b)$
② 递归边界：$gcd(a,0)=a$

写法一

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)
        return a;
    return gcd(b, a % b);
}

写法二

int gcd(int a, int b) {
    return !b ? a : gcd(b, a % b);
}

最小公倍数是指所有公倍数中最小的那个公倍数。

一般用 lcm(a,b) 来表示 a 和 b 的最小公倍数

最小公倍数是在最大公约数的基础上进行的。当得到 a 和 b 的最大公约数 d 之后，可以马上得到 a 和 b 的最小公倍数是$$lcm(a,b)=a\times b /gcd(a,b)$$

注意：
由于 $a\times b$ 在实际计算时有可能溢出，因此，更恰当的写法是
$$a/gcd(a,b)\times b$$

int lcm(int a, int b) {
    return (a / gcd(a, b)) * b;
}

来自河南