题目

有1000瓶药水，其中1瓶是毒药，普通药水不会致死，而毒药1滴也会导致一天之后死亡。现有老鼠若干，如何用最少的时间，最少的老鼠，找出毒药？

只追求时间

用1000只老鼠，1只老鼠对应一瓶药水。1天时间即可找出毒药。

优点：只需1天，能以最快的时间找到毒药
缺点：需要1000只老鼠，使用的老鼠太多

只追求空间

使用二分法，第一轮，将药水分为两组，1组500瓶，用1只老鼠，1瓶喝1滴，根据老鼠是否中毒即可排除其中1组。第二轮，将有毒的一组药水重新分为两组，重复上一轮的操作。

第一轮：剩余500瓶
第二轮：剩余250瓶
第三轮：剩余125瓶
第四轮：剩余62瓶/63瓶
第五轮：剩余31瓶/32瓶
第六轮：剩余15瓶/16瓶
第七轮：剩余7瓶/8瓶
第八轮：剩余3瓶/4瓶
第九轮：剩余1瓶/2瓶
第十轮：剩余1瓶

可以发现：
最多经历10轮，也就是10天之后，才能找到毒药。
最多需要10只：每轮老鼠喝的药水都含有毒药
最少需要1只：老鼠在每1轮中都没有喝到毒药

平衡一下

上面两个方法，要么需要的老鼠太多，要么等的时间太久，能不能结合一下呢？

改善方案

第一轮：把药水分成10份，每轮使用9只老鼠。
第一轮：剩余100瓶
第二轮：剩余10瓶
第二轮：剩余1瓶
最多3天，即可找出毒药

规律总结

第一轮：把药水分成a份，每轮使用a-1只老鼠
···
最多需要 $log_{a}1000$ 天

从二进制的角度思考

先分析4瓶药水怎么判断

如果有4瓶水，需要几只小白鼠？

首先对这四瓶水进行编号，0，1，2，3，转换为二进制，00，01，10，11。

每一位代表1只小白鼠，显然需要2只小白鼠，

然后根据二进制编号决定哪瓶药水给哪只老鼠喝

00，表示标号为0的水，不给第一只小白鼠喝，也不给第2只小白鼠喝。

01，表示标号为1的水，不给第一只小白鼠喝，但是给第2只小白鼠喝。

10，表示标号为2的水，给第一只小白鼠喝，不给第二只小白鼠喝。

11，表示标号为3的水，既给第一只小白鼠喝，也给第二只小白鼠喝。

注意了，我们给4瓶水分别编号 0 1 2 3，换算成二进制，00 01 10 11，这四个编码有两个方向的含义：

• 一个是从水到小白鼠的，即某瓶水对应的2位二进制编码，位 i (i = 0 或 1)代表了这瓶水要不要给第 i 只小白鼠喝。

• 一个是从小白鼠到水的，即两只小白鼠代表两个二进制位，其死（1）活（0）就代表那一位上的值，如果第一只小白鼠死了，那么第一位就是1否则为0，第二只则对应了第二位。

因此我们把四瓶水按照它们对应的编码分别喂给对应的小白鼠，最后小白鼠的状态编码就能标识出这四瓶水中哪一瓶是有毒的。

假如实验结果是两只小白鼠都活着，那么对应的编码就是 00，说明编号为00药水有毒。（编号00，说明两只老鼠都没有喝这一瓶药水）

再分析1000瓶药水

如果4瓶药水的判断方法你看明白了，那么1000瓶药水就很容易理解了。

首先对1000瓶药水进行编码，0，1，2，3，4···，转成二进制，为

0000000000，
0000000001，
0000000010，
0000000011，
···

编码1000个数需要10个二进制位，故需要10只老鼠。

然后把1000瓶药水按照它们对应的编码分别喂给对应的小白鼠，最后小白鼠的状态编码就能标识出这1000瓶药水中哪一瓶是有毒的。